هندسه فراکتال

مقدمه همه شما حتي اگر از هندسه نيز چيزي ندانيد بارها نام آن را شنيده ايد. و حتماً مي دانيد كه «جبر، حساب و هندسه» سه شاخه مهم از رياضيات است، همين سه عنوان در رياضيات پايه گذار پيشرفت در تمام علوم محسوب مي شوند.شايد همين حس مسئوليتي كه رياضيات به تمام بخش هاي علوم دارد آن را بسيار جدي و در نظر بسياري، علمي خشك و در عين حال سخت جلوه داده است. در اين ميان هندسه نقش بسيار مهمي را حتي در شاخه هاي رياضي برعهده دارد. هندسه كه مي توان به آن علم بازي با اشكال لقب داد، خود پايه گذار ديگر شاخه هاي رياضي است. زيرا تمام قسمت هاي ديگر در رياضيات و علوم ديگر تا به صورت مشهودي قابل بررسي دقيق و اصولي نباشد جاي پيشرفت چشمگيري براي آنها نمي توان درنظر گرفت. با اين اوصاف، شايسته است به هندسه لقب «مادر بزرگ علوم» دهيم.شايد اگر زماني كه حوزه اطلاعاتمان از اعداد تنها به مجموعه اعداد طبيعي منتهي مي شدو معلم درس رياضيات از ما مي خواست تا ضلع سوم مثلث قائم الزاويه اي را كه طول هر ضلعش يك سانتي متر است اندازه بگيريم نمي توانستيم عددي را با چنين ويژگي بيابيم .سال ها پيش اقليدس با حل مسئله اي نظير اين (محاسبه قطر مربعي كه هر ضلعش 1 واحد بود)، سلسله اعداد جديدي را به مجموعه هاي شناخته شده اضافه كرد كه يكي از شاهكارهاي بي نظير در پيشرفت رياضيات و البته علوم بود. بله اين عدد عجيب و غريب «راديكال 2» بود.عموم تحصيلكردگان با هندسه اقليدسي آشنا هستند. زيرا دست كم در طول دوران تحصيل خود به اجبار هم كه بوده در كتاب هاي درسي با اين هندسه كه اصول آن بر مبناي اندازه گيري است آشنا شده اند. اما هندسه اقليدسي تنها به بررسي اشكال كلاسيك موجود در طبيعت مي پردازد. در اين هندسه اشكال و توابع ناهموار، آشفته و غير كلاسيك به بهانه اينكه مهار ناپذيرند، جايي نداشتند.بالاخره در سال 1994، طلسم يكي از تئوري هاي رياضي كه از سال1897، عنوان شده بود، شكست و « مندلبرات(1) » رياضيدان لهستاني، پايه گذار هندسه جديدي شد كه به آن هندسه بدون اندازه يا هندسه فركتالي گويند. هندسه بدون اندازه يكي از شاخه هاي جديد رياضيات است كه در برابر تفسير و شبيه سازي اشكال مختلف طبيعت از خود انعطاف و قابليت بي نظير نشان داده است. با به كارگيري هندسه فركتالي، افق روشني پيش روي رياضيدانان و محققان در زمينه بازگو كردن رفتار توابع و مجموعه هاي به ظاهر ناهموار و پر آشوب قرار گرفت.

تاریخچه هندسه فرکتالي يا هندسه فرکتال ها پديده ايست که چندي پيش پا به دنياي رياضيات گذاشت. پيش از اينکه مندلبورت اين واژه را ابداع کند، براي چنين اشکالي، از واژه «منحني‌هاي هيولايي» استفاده مي‌شد. واژه فراکتال مشتق گرفته شده از واژه لاتینی فراکتوس به معنای سنگ است که به شکل نا منظم شکسته و خرد شده. که در سال 1976 توسط رياضيدان لهستاني به نام بنوئيت مندلبرات وارد دنياي رياضيات شد.
او در سال 1987 پرفسوري خود را در رشته رياضيات گرفت.
مندلبرات وقتي که بر روي تحقيقي پيرامون طول سواحل انگليس مطالعه مي نمود به اين نتيجه رسيد که هر گاه با مقياس بزرگ اين طول اندازه گرفته شود بيشتر از زماني است که مقياس کوچکتر باشد.
فرهنگستان زبان هم واژه برخال را تصويب کرده و همچنين براي واژه فرکتالي واژه برخالي را تصويب کرده است.
واژه فركتال به معناي سنگي است كه به شكل نامنظم شكسته شده باشد.

هندسه فضایی

مقدمه

هندسه فضایی به بررسی موقعیت اجسام ، اجرام و نقاط متحرک یا ساکن در فضا می‌پردازد، فضا مختصاتی سه بعدی دارد شامل طول ، عرض ، ارتفاع که این ابعاد را با x ، y و z در صفحه مختصات فضایی نمایش می‌دهیم. مهمترین مبحث در هندسه فضایی مبحث بردارها می‌باشند. بنابراین در هندسه فضایی به مؤلفه‌های برداری ، بردارهای یکه ، صفحات ، فاصله‌ها و ... خواهیم پرداخت.

مؤلفه‌های برداری و بردارهای یکه i ، k , j

بعضی از کمیات فیزیکی مانند طول و جرم اندازه پذیر هستند و توسط اندازه‌شان کاملا معین می‌شوند، این کمیات و کمیات نظیر آنها را کمیات اسکالر می‌گوئیم. اما کمیات دیگری وجود دارند که علاوه بر اندازه باید جهت آنها نیز مشخص باشد تا معین شوند این کمیات را کمیات برداری گوئیم. یک بردار را معمولا با پاره خطی جهتدار نمایش می‌دهند که جهتش نمایش جهت بردار بوده و طولش بر حسب یک واحد اختیار شده نمایش اندازه‌اش می‌باشد. دو بردار را زمانی مساوی می‌نامیم که از لحاظ جهت و اندازه یکسان باشند.

بهترین جبر بردارها مبتنی بر نمایش آنها بر حسب مؤلفه‌های موازی محورهای مختصات دکارتی است. این کار با استفاده از واحد طول یکسان بر سه محور x ، z , y صورت می گیرد و در این راه از بردارهای با طول یک در امتداد محورها به عنوان بردارهای یکه استفاده می‌شود که i را بردار یکه محور j ، x را بردار یکه محور y ها و k را بردار یکه محور z ها می‌گوئیم.
مهمترین ویژگی بردارها در فضا مانند حالتی است که در صفحه قرار دارند طول و جهت آنها است. طول بردارها با دو بار استفاده از قضیه فیثاغورس به دست می‌آید. اما به صورت ساده‌تر جهت بردار ناصفر بردار واحدی است که از تقسیم مؤلفه‌های آن بر طولش به دست می‌آید.

بردار بین دو نقطه در فضا

بیشتر اوقات لازم است که بردار بین نقاط را بدست آوریم. هندسه فضایی این مشکل را برای ما حل می‌کند، به این ترتیب که اگر دو نقطه را برحسب مختصات فضایی که دارند بیان کنیم بردار بین این دو نقطه توسط رابطه زیر حاصل خواهد شد:

فاصله در فضا

برای یافتن فاصله بین دو نقطه به مختصات گفته شده در مطلب بالا از مجموع توان دوم هر یک از مؤلفه‌های فوق رادیکال با فرجه دوم می‌گیریم بنابراین داریم:

حاصل عبارت فوق یک کمیت اسکالر می‌باشد.
وسط یک پاره خط در فضا
برای پیدا کردن وسط یک پاره خط که دو نقطه را به هم وصل می‌کند متوسط و یا به عبارتی میانگین مختصات را بدست می‌آوریم.

کره و استوانه

علاوه بر مطالب فوق هندسه فضایی به مطالعه کره و استوانه نیز می‌پردازد. معادله متعارف کره به شعاع a و مرکز به صورت زیر است:

در مورد استوانه و مطالعه درباره استوانه ناچار به تعمیم هندسه تحلیلی به فضا هستیم. به طور کلی استوانه سطحی است که از حرکت خط مستقیم در امتداد یک منحنی تولید می‌شود به طوری که همواره موازی خط می‌باشد. به طور کلی ، هر منحنی مانند
در صفحه استوانه‌ای در فضا تعریف می‌کند که معادله آن به صورت فوق می‌باشد و از نقاط خطوطی مار بر منحنی تشکیل شده است که با محور z موازی‌اند. خطوط را گاهی عناصر استوانه می‌نامند. بحث فوق را می‌توان برای استوانه‌هایی که عناصرشان موازی سایر محورهای مختصات‌اند تکرار کرد. به طور خلاصه: یک معادله در مختصات دکارتی ، که از آن یکی از مختصات متغیر حذف شده، نمایش استوانه ای است که عناصرش موازی محور مربوط به متغیر مفقود است. سهمی گونها یکی دیگر از اشکال مختصات فضایی هستند. بسیاری از آنتنها به شکل قطعاتی از سهمی گونهای دوارند، رادیو تلسکوپها یکی دیگر از انواع سهمی گونهای مورد استفاده بشر هستند که در ساخت آنها از هندسه فضایی مدد گرفته شده است.

منشور

منشور قائم شکلی فضایی است که از دو یا چند ضلعی مساوی و موازی تشکیل شده که رئوس این چندضلعیها طوری به هم وصل شده اند که وجوه جانبی این شکل فضایی مستطیل می‌باشد.

مکعب مستطیل

مکعب مستطیل منشوری است که قاعده‌های آن مستطیل می‌باشد اگر ابعاد قاعده مکعب مستطیل b , a و ارتفاع آن c باشد خواهیم داشت:

a+b)2c) = مساحت جانبی مکعب مستطیل

(ab+ac+bc)2=2ab+(2bc+2ac)= مساحت کل مکعب مستطیل

Abc= حجم مکعب مستطیل

هرم

هرم شکلی است فضایی که قاعده آن یک یا چند ضلعی است و وجوه جانبی آن مثلث است. این مثلثها یک رأس مشترک به نام S دارند. هرمی که قاعده آن مربع باشد هرم مربع القاعده و هرمی که قاعده آن مثلث باشد هرم مثلث القاعده نامیده می‌شود. پاره خطی که از رأس هرم بر صفحه قاعده آن عمود می‌شود ارتفاع نامیده می‌شود. اگر قاعده یک هرم یک چند ضلعی منتظم باشد پای ارتفاع آن بر مرکز قاعده منطبق باشد، هرم را هرم منتظم می‌نامیم. ارتفاع هر وجه جانبی هرم منتظم را سهم هرم می‌نامند.

2/سهم×محیط قاعده= مساحت جانبی هرم منتظم

ارتفاع×مساحت قاعده ×3/1 = حجم هرم

مخروط

اگر یک مثلث قائم الزاویه را حول یکی از اضلاع زاویه قائمه دوران دهیم شکلی فضایی پدید می‌آید که مخروط نامیده می‌شود. در این صورت ضلعی که مثلث را حول آن دوران داده‌ایم ارتفاع مخروط و ضلع دیگر زاویه قائمه شعاع قاعده مخروط و وتر مثلث مولد مخروط می‌باشد.

2 / مولد مخروط×محیط قاعده مخروط = مساحت جانبی مخروط

ارتفاع×مساحت قاعده×3/1 = حجم مخروط

توپولوژی

توپولوژی (مکان شناسی)، مطالعه ریاضیاتی روی خصوصیاتی است که در طی تغییر شکلها ، ضربه خوردن ها و کشیده شدن اشیاء ، به طور ثابت حفظ میشوند (البته عمل پاره کردن مجاز نمی باشد). یک دایره به لحاظ توپولوژیکی هم ارز بیضی میباشد که می تواند در داخل آن با کشیده شدن تغییر شکل یابد و یک کره به سطح بیضی وار هم ارز است( یعنی یک منحنی بسته تک بعدی و بدون هیچ محل تقاطع که میتواند در فضای دو بعدی جای گیرد)، مجموعه تمام وضعیتهای ممکن برای عقربه های ساعت شمار و دقیقه شمار با هم ، به لحاظ توپولوژیکی با چنبره هم ارز است (یعنی یک سطح دوبعدی که می تواند در داخل فضای سه بعدی جای گیرد) و مجموعه تمام وضعیت های ممکن برای عقربه های ساعت شمار ، دقیقه شمار و ثانیه شمار با هم ، به لحاظ توپولوژی با یک شیء سه بعدی هم ارز می باشد.
البته توپولوژی فقط این نیست. توپولوژی با منحنی ها ، سطوح و سایر اشیاء در صفحه و فضای سه بعدی مطرح گردید. یکی از ایده های اصلی در توپولوژی این است که اشیاء فضایی مثل دایره ها و کره ها در نوع خود میتوانند به عنوان اشیاء محسوب شوند و علم اشیاء ارتباطی با چگونگی نمایش یافتن یا جای گرفتن آنها در فضا ندارد. برای مثال ، عبارت " اگر شما یک نقطه را از دایره بیرون بکشید، یک پاره خط حاصل خواهد شد " ، درست به همان اندازه که برای دایره صادق است برای بیضی و حتی دایره های پیچ خورده و گره دار نیز صدق می کند، چرا که این عبارت فقط خصوصیات توپولوژیکی را شامل می شود .
توپولوژی با مطالعه مواردی چون اشیاء فضایی از قبیل منحنی ها، سطوح، فضایی که ما آن را جهان می نامیم ، پیوستار فضا زمان با نسبیت عمومی، فراکتال ها، گره ها ، چند شکلی ها (اشیایی هستند که برخی خصوصیات فضایی اصلی آن ها مشابه با جهان ما می باشد)، فضا های مرحله ای که در فیزیک با آن ها مواجه می شئیم ( مثل فضای وضعیت های قرار گرفتن عقربه ها در ساعت) ، گروه های متقارن همچون مجموعه شیوه های چرخاندن یک رأس و غیره در ارتباط است.
توپولوژی برای جدا سازی اتصال ذاتی اشیاء و در عین حال کنار گذاشتن ساختار جزء به جزء آنها قابل استفاده می باشد.
اشیاء توپولوژیکی اغلب به صورت رسمی به عنوان فضا های توپولوژیکی تعریف می شوند. اگر دو شیء دارای خصوصیات توپولوژیکی مشابه باشند ، گفته می شود که آن ها هم ریخت هستند.البته اگر دقیق تر بگوییم ، خصوصیاتی که با کشیدن یا کج کردن یک شیء تخریب نمی شوند ، در واقع خصوصیاتی هستند که به واسطه همسانگری حفظ می شوند نه به واسطه ی هم ریختی؛ همسانگری با کج کردن اشیاء دیگر در ارتباط است در حالیکه همریختی ، خصیصه ذاتی است).
حدود سال 1900 ، (پوانکاره poincare) ، معیاری از توپولوژی را تحت عنوان هوموتوپی (Homotopy) طراحی کرد(کولینز . 2004) . به طور خاص دو شیء ریاضیاتی زمانی هوموتوپیک خوانده می شوند که یکی از آنها بتواند به طور پیوسته به شکلی مشابه شکل دیگری تغییر یابد.
توپولوژی بر سه قسم است: توپولوژی جبری(که توپولوژی ترکیبی نامیده میشود) توپولوژی نا همسان و توپولوژی کم بعدی. یک تعریف رسمی نیز برای توپولوژی که بر حسب عملیات های مجموعه ای تعریف میشوند ، وجود دارد. یک مجموعه X به همراه یک مجموعه T از زیر مجموعه آن ، در صورتی یک توپولوژی محسوب می شود که زیر مجموعه ها در T از خصوصیات زیر پیروی نمایند:

1- زیر مجموعه های ناچیز X و مجموعه تهی در T باشند.
2- هر گاه مجموعه ای A و B در T باشند ، آنگاهA^ B
3- هر گاه دو یا چند مجموعه در T باشند آنگاه اجتماع آن ها نیز چنین است.

لگاریتم و كاربردهای آن در زندگی

نظریه ها و قاعده های ریاضی، با کشف خود «هستی» پیدا می کنند، آن ها تنها وجود دارند و اغلب بدون کاربردند. دیر یا زود، و گاهی بعد از صدها و هزارها سال، این موجودات ریاضی به «صفت» تبدیل می شوند و کاربرد خود را در زندگی و عمل، در سایر دانش ها، در صنعت و هنر پیدا می کنند.«اویلر»                                                                 ¼br>                          ¼br>  شاید ۳۸۰ سال پیش کسی فکر نمی کرد لگاریتمی که در رابطه با نیاز محاسبات عملی کشف شد در آینده کاربردهای وسیعی پیدا کند.
شاید هیچوقت کپلر فکر نمی کرد که جدول هایی را که برای ساده  کردن محاسبات طولانی در تعیین مدار مریخ و یا کارهای اخترشناسی دیگرش تنظیم کرد، جرقه ای این چنین را در ریاضیات ایجاد کند.
یا شاید لاپلاسی که گفت: “لگاریتم طول زندگی اخترشناسان را چند برابر کرد” نمی دانست که نه تنها طول زندگی اخترشناسان بلکه دریانوردان، بازرگانان، موسیقیدانان، شیمیدانان، ریاضیدانان، زمین شناسان و حتی همه ی انسان های کره ی زمین را چند برابر کرد.
بدیهی است که تا نیاز به چیزی احساس نشود آن چیز کشف و اختراع نمی گردد، در واقع هرکدام از علومی که با آن روبه رو هستیم هریک به مقتضای نیازی و با توجه به هدف خاصی پیکر بندی شده اند.
لگاریتم نیز با توجه به محاسبه های طولانی و ملال آوری که دانشمندان سده های شانزدهم و هفدهم میلادی با آن سر و کار داشتند، بوجود آمد. این محاسبه ها وقت و نیروی زیادی را از دانشمندان تلف می کرد و همیشه دانشمندان در ذهن داشتند که چطور می شود بدون انجام چنین محاسبات پیچیده و دشواری و آن هم در کمترین زمان ممکن به جواب مطلوب دست یابند. گفته می شود که حتی در قرن هشتم هندی ها با محاسبات مربوط به لگاریتم آشنایی داشتند اما این کلمه و مفهوم مربوط می شود به قرن شانزدهم .جدول هایی نیز در این زمینه بوجود آمد و شاید همین تلاش ها و نیازها بود که سر انجام به کشف لگاریتم انجامید تا آن جا که دو دانشمند به طور همزمان و بدون اینکه از کار یکدیگر آگاه باشند موفق به کسب چنین افتخاری گشتند اولی جان نپر و دیگری بورگی.
اما اصطلاح لگاریتم نشات گرفته از فعالیت های نپر است که از واژه ی یونانی «لوگوس» به معنی نسبت و «ارتیوس» به معنی عدد گرفته شده است. او همچنین بجای لگاریتم از اصطلاح عدد ساختگی نیز استفاده می کرد. نپر چکیده ی کارهای خود را در کتابی با عنوان «شرح جدول های عجیب لگاریتمی» چاپ کرد و به دنیا نمایاند.

عدد e (مبنای لگاریتم طبیعی) نیز در چنین سال هایی چشم به جهان و جهانیان گشود. گفته می شود کاشف عددe  آن گونه که برخی می پندارنداویلر نبوده است بلکه خود نپر بحث مربوط به لگاریتم طبیعی و عدد e را در یکی از نوشته هایش پیش کشیده است.
بعد از آشکار شدن لگاریتم به جهانیان ابزارهایی برای آسانتر کردن محاسبات لگاریتمی کشف شد که از آن جمله می توان به خط کش لگاریتمی ساخته ی گونتر انگلیسی اشاره نمود. امروزه نیز با استفاده از ماشین حساب و با فشردن یک کلید میتوان عمل لگاریتم گرفتن را به آسانی و سرعت انجام داد.
با ورود لگاریتم به دنیای ریاضیات و آشنا شدن مردم و دانشمندان با آن، این شاخه کاربردهای زیادی را در زندگی روزمره پیدا کرد. چنانکه امروزه لگاریتم در حسابداری و در تعیین بهره ی مرکب و نیز مسائل مالی کاربرد فراوانی یافته است. همان زمان که لگاریتم اختراع شده بود اویلر رابطه ی بین عدد e  و بهره ی مرکب را دریافت و فهمید که حد بهره به سمت عددی متناسب (یا مساوی در شرایط خاص) ، که همان عدد e است میل می کند. همچنین از لگاریتم در مدلسازی و بازار یابی سهمی استفاده می شود. مدلسازی ایجاد الگو و تمثیلی برای تجسم واقعیت های خارجی است که در مسائل مربوط به ریاضیات و حسکاربرد دارد.

براي المپياد رياضي بايد چه منابعي رو مطالعه كرد؟

به چند منبع معتبر اشاره می کنم (توجه داشته باشید که فرض بر این است که پایه علمی شما خوب است و ضعف خاصی در کتابهای درسی دبیرستان و پیش دانشگاهی ندارید. در غیر این صورت منابع زیر خیلی به دردتان نخواهد خورد):

1- کتابهای کار و راهنمای مطالعه دانش آموز (وزارت آموزش و پرورش - انتشارات فاطمی)

2- سری کتابهای کوچک ریاضی (انتشارات مدرسه)

3- المپیاد ریاضی در ایران- تالیف دکتر عبادلله محمودیان (موسسه علمی انتشارات علمی دانشگاه صنعتی شریف)

4- حل مساله از طریق مساله تالیف لورن سی. لارسن و ترجمه آقای علی ساوجی (انتشارات فاطمی)

5- پانصد مساله ریاضی پیکارجو تالیف باربو-کلامکین-موزر و ترجمه مهران اخباریفر (انتشارات فاطمی)

6- از اردوش تا کی یف تالیف هانس برگر و ترجمه علی ساوجی (انتشارات فاطمی)

7- کتابهای تکمیلی ریاضیات ( این کتابها در مراکز استعداد های درخشان به دانش آموزان تحویل داده می شود و یکی از منابع تدریس دبیران در این مراکز است) (انتشارات سمپاد)

8- کتاب روشهای جبر - تالیف استاد پرویز شهریاری (انتشارات امیرکبیر) (لازم به ذکر است که تمامی کتابهای تالیف شده یا ترجمه شده توسط این استاد گرانقدر و چهره ماندگار ریاضی منابعی عالی برای مطالعه دانش آموزان است.)

9- سری کتابهای ریاضیات پیش دانشگاهی (انتشارات مرکز نشر دانشگاهی)

10- کتاب «اثبات بدون کلام» تالیف راجر ب. نلسن ترجمه خانم سپیده چمن آرا (انتشارات فاطمی)

پیتر سیمون لاپلاس

پیتر سیمون لاپلاس در 23 مارس 1749 در حوالی پون لوک فرانسه متولد شد پدرش دهقان فقیری بود و از کودکی خودش اطلاعی در دست نیست لاپلاس از جمله مؤثرترین دانشوران در طول تاریخ می باشد او به محض اینکه ریاضیدان مشهوری شد و افتخاراتی کسب نمود اصل و نسب خود را مخفی نگاه می داشت، مشهور است که لاپلاس برای ملاقات دالامبر ریاضیدان با ارزش در یکی از روزهای سال 1770 به خانه او می رود و با وجود توصیه هایی که ارائه می دهد کمک قابل توجهی از طرف زیاضی دان بزرگ نسبت به او نمی شود لاپلاس مایوس نمی شود و نامه ای برای دالامبر می فرستد و در آن افکار خویش را درباره اصل مکانیک شرح می دهد دالامبر به محض خواندن نامه نویسنده را احضار می کند و به او می گوید چنانچه ملاحظه میکنید من به توصیه و سفارش ترتیب اثر نمی دهم ولی شما برای شناساندن خود وسیله خوبی بدست آوردید دالامبر فوراٌ‌ لاپلاس را به سمت استاد مدرسه نظامی پاریس انتخاب می کند.

در مرحله اول لاپلاس نوشته هایی در باره مسائل حساب انتگرال، اختر شناسی، ریاضی کیهان شناسی نظریه بازیهای بخت آزمایی و علیت تالیف کرد در این دوره سازنده وی سبک و شهرت و موضع فلسفی و برخی شیوه های ریاضی خود را ساخته و پرداخته کرد و برنامه ای برای پژوهش در دو زمینه – احتمالات و مکانیک آسمانی – تنظیم نمود که بقیه عمر را به کار ریاضی در باره آنها پرداخت در مرحله دوم در هر دو زمینه به بسیاری از نتایج عمده ای رسید که به سبب آنها مشهور است و بعدها آنها را در رساله های بزرگ خو«مکانیک سماوی 1799 – 1825) و نظریه تحلیلی(1812) گنجانید اطلاع از بخش اعظم این مسائل به وسیله شیوه های ریاضی صورت گرفت که او در آن زمان یا قبل از آن، به وجود آورد ابداع کرده بود مهمترین آنها عبارتند از توابع مولد، که از آن پس به نام وی خوانده شدند. بسط، که آن نیز در نظریه دترمینانها به نام وی گردید، تغییر مقادیر ثابت به منظور رسیدن به راه حلهای تقریبی در انتگرال گیری عبارتهای اختر شناسی و ابع گرانشی تعمیم یافته که بعدها با دخالت پواسون به صورت تابع پتانسیل برق و مغناطیس قرن 19 در آمد همچنین در طی همین دوره بود که لاپلاس به سومین حوزه علایقش – یعنی فیزیک که با همکاری لاوازیه در زمینه نظریه گرما بود، وارد گردید و تا حدودی در نتیجه آن همکاری بود که وی تبدیل به یکی از اعضای مؤثر حلقه درونی مجمع ملی شد.

اولین مسئله مورد توجه لاپلاس دنبال نمودن کار اسحاق نیوتن بود زیرا اسحاق نیوتن قانون اصلی مکانیک آسمانی را یافته بود و لاپلاس می خواست این قانون را در مورد تمام اجسام منظومه شمسی به کار برد لاپلاس شروع به تعیین قوانین مکانیک سیارات کرد تا نشان دهد که این اجسام مانند سایر اجسام تابع قوانین فیزیکی هستند اولین موضوعی که لاپلاس نزد خود مطرح می کند موضوع ثبات دستگاه شمسی است که آیا به وضعی که داراست می ماند یا بالاخره ماه روی زمین سقوط می کند و سیارات بر جرم خورشید پرتاب شده و معدوم می گردند اسحاق نیوتن هم این سؤال را مطرح کرده بود و به این نتیجه رسیده بود که باید گاهگاهی دست خداوند در کار بیاید و حرکات آنها را به جریان عادی برگرداند ولی لاپلاس گفت اگر چه وضع سیارات نسبت به خورشید تغییر می کند ولی این تغییرات تناوبی است لاپلاس تمام این اکتشافات را تحت عنوان مکانیک آسمانی منتشر ساخت ولی چون فهم مطالبش برای همه کس مقدور نبود لذا تصمیم گرفت کتابی دیگر بنویسد که مردم عادی هم از آن بهره مند گردند این کتاب تحت عنوان شرح دستگاههای جهانی منتشر شد.

لاپلاس علاوه بر نجوم و ریاضیات استادی عالیقدر در علم فیزیک بود و در باره لوله های موئین و انتشار امواج صوتی مطالعات فراوانی داشت از مهمترین آثار لاپلاس تئوری تحلیلی احتمالات را که در سال 1812 نوشته است می توان نام برد لاپلاس را که دانشمندی بی همتا می توان گفت متاسفانه نسبت به تمام حکومتهایی که پی در پی عوض می شدند تملق می گفت و از آنها استفاده می کرد در مقابل ناپلئون تا زانو تعظیم می کرد و به همین علتها بود که از طرف امپراطور به مقامهای کنت – سناتور – ریاست مجلس سنا انتخاب شد با وجود اینها وقتی ناپلئون اسیر شد به او پشت کرد و به عزلش رای داد و خود را در دامان لویی هجدهم انداخت و از طرف او به سمت رئیس کمیته تجدید تشکیلات مدرسه پلی تکنیک و عضو مجلس عیان انتخاب شد. لاپلاس با تمام این اوصاف جوانان را تشویق و کمک می کرد به طوری که روزی یکی از اکتشافات جوان ناشناسی بنام بیو از طرف آکادمی مورد تمجید قرار گرفت او را نزد خود خواند و معلوم گردید لاپلاس قبلاٌ این اکتشاف را مورد مطالعه قرار داده سات.

لاپلاس اواخر عمر را در آرکوری نزدیک پاریس در عمارت ییلاقی خود که نزدیک دوستش برتوله بود گذارنید او روز 5 مارس 1812 در 78 سالگی در گذشت در حالیکه آخرین حرف او این بود: آنچه می دانیم بسیار ناچیز و آنچه نمی دانیم عظیم و وسیع است.

فقط خـــــــــــدا میداند!!!

۱- بشر اولیه مجبور بود برای تامین غذای روزمره به شکار و جمع آوری میوه ی درختان بپردازد.با گذشت زمان انسان توانست طبیعت را تا حدی مهار کند و به کشاورزی و دامداری مشغول شود.در واقع از مرحله جمع آوری غذا به مرحله تولید غذا رسید.این مسئله نیاز به شمارش را ایجاد کرد.انسان اولیه باید به نحوی مشخص میکرد که چه تعداد دام دارد و مثلا محصول مزرعه اش شامل چند میوه است.این مسئله رفته رفته باعث تعریف اعداد طبیعی    {۱و۲و۳و...} شد.تا این مرحله اعداد طبیعی تمام نیازهای بشر اولیه را جوابگو بود.

۲- پیشرفت تمدن و بوجود آمدن روستاها باعث شد تا مسئله ی داد و ستد بین مردم مطرح شود.اگر شما ده راس دام داشته باشید و دیگری ۷ راس دام و شما ۴ راس دام خود را به او بفروشید شما چند راس دام خواهید داشت و او چند راس؟ اینجا طبیعتا مسئله جمع و تفریق را مطرح میشد.مسئله ی جمع و تفریق رفته رفته پای صفر و اعداد منفی را به دنیای اعداد باز کرد و اعداد صحیح {...و-۲و-۱و۰و۱و۲و...} تعریف شدند.ظاهراً اعداد صحیح دیگر همه نیازهای محاسباتی بشر را پاسخ میگفت!!!

۳- اگر بخواهیم عدد ۱۰ را ۵ بار با هم جمع کنیم باید ۱۰+۱۰+۱۰+۱۰+۱۰ را محاسبه کنیم.برای بشر نخستین محاسبه چنین حجمی از محاسبات٬کار دشواری بود چرا که آنها محاسباتشان را به کمک چیزهایی مثل تکه های سنگ یا ایجاد برش در تکه ای چوب(چوب خط) انجام میدادند.اینجا بود که نمایش ۱۰×۵ بجای۱۰+۱۰+۱۰+۱۰+۱۰ مطرح شد و عمل ضرب عینیت یافت.همچنین بحث تقسیم محصول یا غنایم بین افراد یک روستا یا قبیله باعث ایجاد عمل تقسیم شد.بشر اولیه باید به نحوی مشخص میکرد که برای تقسیم ۲۰ نان بطور مساوی بین ۵ نفر به هر نفر چند نان میرسید.

۴- حال اگر بخواهید ۲۰ نان را بین ۷ نفر بطور مساوی تقسیم کنید چه؟!!! یا فرض کنید بخواهید طول پارچه ای را در حالی حساب کنید که واحد اندازه گیریتان چوبی با طول مشخص است اما طول پارچه نه به اندازه یک طول چوب است نه به اندازه دو طول چوب!!! اینجا کم کم سر و کله ی اعداد گویا   {p/q بطوریکه p,q اعداد طبیعی باشند} پیدا شد. وضعیت اعداد گویا کمی نامشخص است یعنی به فرض شما نمیتوانید سریع تشخیص دهید که عدد ۶/۹(نه ششم) بزرگ تر است یا عدد ۵/۸(هشت پنجم) اینجا بود که نماد گذاری جدید اعشاری بوجود آمد. نمایش نه ششم بصورت ۱.۵ و هشت پنجم بصورت ۱.۶ کاملا وضعیت را مشخص میکرد.

۵- حال اگر بخواهید عدد یک سوم را بصورت اعشاری نشان دهید چه اتفاقی می افتد؟یک تقسیم ساده نشان میدهد که عدد اعشاری ۱.۳۳۳۳۳۳۳۳۳۳ است و این عدد ۳ بینهایت بار تکرار میشود!!! در مورد بیست و دو هفتم مسئله جالبتر است!!! نمایش اعشاری این عدد بصورت ۳.۱۴۲۸۵۷۱۴۲۸۵۷۱۴۲۸۵۷۱۴۲۸۵۷ است و این بار ۱۴۲۸۵۷ بینهایت بار تکرار میشود!!!  این گونه اعداد گویا را که دارای نمایش اعشاری بی پایان اما تکراری هستند نامختوم تکراری می نامند و اعداد گویایی که نمایش اعشاریشان با پایان است را مختوم می نامند. به نظر میرسید که بجز اعداد گویا دیگر عدد دیگری وجود نداشته باشد و بشر بتواند تمام محاسباتش را با کمک این اعداد انجام دهد.

۶- سه ضربدر سه برابر ۹ است و شش ضربدر شش برابر ۳۶.اینجا رادیکال تعریف میشود.۳=۹√ و ۶=۳۶√ حال ۲√ برابر چند است؟در واقع فیثاغورث اثبات کرده بود که اگر a و b دو ضلع مثلث قائم الزاویه ای باشند و c وتر آن باشد آنگاه a×a + b×b=c×c حال اگر a و b هر دو برابر یک باشند باید عددی یافت که ضربدر خودش برابر ۲ شود.این مسئله را بطریق دیگری هم میتوان بیان کرد.طول قطر مربعی به ضلع یک را بیابید.مسئله دقیقا هم ارز با محاسه طول وتر مثلث قائم الزاویه ای با دو ضلع یک است!!! محاسبات فیثاغورثیان(شاگردان و پیروان فیثاغورت)نشان داد که نمایش اعشاری ۱.۴۱۴۲۱۳۵۶۲=۲√ نه مختوم است و نه نامختوم تکراری!!! اینجا بود که اعداد گنگ مطرح شدند.بشر بعدها فهمید که محیط دایره ای به قطر ۱ هم عددی گنگ است.این عدد گنگ را عدد پی∏ نامیدند که برابر است با ۳.۱۴۱۵۹۲۶۵۴ به مجموعه اعداد گویا و گنگ اعداد صحیح میگویند.

۷- به نظر میرسید با کشف اعداد گنگ دیگر عدد دیگری در طبیعت وجود نداشته باشد اما...!!! اگر عدد 1 جواب معادله x-۱=0 ٬عدد 1- جواب معادله x+۱=0 ٬عدد یک دوم جواب معادله 2x-۱=۰ و عدد ۲√ جواب معادله ۰=x.x-۲ باشد٬جواب معادله x.x+۱=۰ برابر چیست؟ ۱-√؟اما رادیکال که برای اعداد منفی تعریف نشده است!!! تعریف نشده؟!!! مگر تعریف را خودمان بوجود نیاورده ایم؟خب حال تعریف جدیدی ارائه میکنیم!!! عدد مختلط i را بگونه ای تعریف میکنیم که i×i=-۱ پس جواب معادله x.x+۱=۰ برابر i است!!! شکل کلی اعداد مختلط بصورت a+bi است و a را بخش حقیقی و b را بخش موهومی مینامند.برخلاف اعداد حقیقی که روی یک خط نمایش داده میشوند اعداد مختلط را روی صفحه نمایش میدهند.یک محور برای بخش حقیقی و یک محور برای بخش موهومی.با تعریف اعداد مختلط همه معادلات چند جمله ای دارای جواب هستند اما باز هم یک سوال مطرح میشود.آیا هنوز هم اعدادی کشف نشده وجود دارند؟ فقط خدا میداند!!!

چند وجهی های منتظم

مجموعة اجسام منتظم از مشهورترين مجموعة چند وجهي ها در زمان باستان است. تائتتوس رياضيدان يوناني(369-415 ق.م ) اولين كسي است كه با آنها رياضي گونه برخورد كرد.افلاطون(347-427 ق. م ) دوست تائتتوس ،چند وجهي هاي منظم را با كيهان شناسي خود در آميخت.تيمائوس(كتاب افلاطون) در گفت گوي خود روي چهار عنصركه همه چيز از آنها تشكيل شده است،بحث مي كند. اجزاي زمين به شكل مكعب هستند و به حالتي استوار روي قاعده شان قرار دارند. اجزاي هوا كه هشت وجهي هاي منتظم هستند، و اگر روي رئوس مخالف قرار گيرند، به آزادي مي چرخند. اجزاي آتش ، چهاروجهي هاي منتظم هستند. اجزاي آب بيست وجهي و تقريبا" كروي هستند. و مانند مايعات مي توانند بغلتند. اجزاي تشكيل دهنده اتر 12 وجهي و بسيارسبك هستند. در قديم تصور مي شد تمام اجرام سماوي از مادة سبكي به نام اتر تشكيل شده اند كه خاصيت چرخندگي دارند. در دوره رنسانس، زمانيكه نوشته هاي كلاسيك روم و يونان باستان با پشت سر گذاشتن سال هاي تاريك اروپادر دسترس قرار گرفت ، خداشناسان ، فلاسفه و دانشمندان كارهاي افلاطون و اقليدس را مورد مطالعه قرار دادند،و اين مطالعه ها علاقة آنها به چند وجهي ها بر انگيخت. يوهانس كپلر آلماني(1630-1571 )آرزوي بزرگش در زندگي اين بود كه بتواند تئوري خورشيد مركزي را تكميل كند. او سادگي و هماهنگي اين تئوري را به صورت لذتي باورنكردني مي نگريست. براي كپلر چنان الگوهايي از انتظام هندسي و رابطه هاي عددي سر رشته اي بود براي شناخت انديشه خداوند او درصدد بود تا از راه تئوري خورشيد مركزي اين الگو ها را بيشتر نمايان كند .در نخستين اثر بزرگ خود كوشيد تا ترتيب و فاصله مدارهاي سيارات را چنان كه كپرنيك محاسبه كرده بود به نحوي از طريق اشكال هندسي توجيه كند كپلر به دنبال دلايلي مي گشت تا دريابد چرا فقط شش سياره قابل رويت وجود دارد و چرا با چنين ترتيبي قرارگرفته اند اينها مسائل ارزشمندي است كه حتي امروزه پاسخ دادن به آنها بسيار دشوار است. كپلر فكر مي كردكه كليد حل اين مسائل در هندسه است.او به جستجويي ميان شش سيارة شناخته شده پنج چند وجهي منتظم برآمد. او با استفاده از روش آزمايش خطا راهي براي آرايش چند وجهي ها به دست آورد.كپلر چند وجهي هاي منتظم را به دستگاه كوپر نيك و سيارات وارد ساخت و از آنها براي توجيه ترتيب و اندازة مدار سيارات استفاده كرد. طرح او مانند شكل پشت جلد است. زحل در كرة خارجي حركت مي كند كه شامل يك مكعب است و يك كره در آن قرار دارد كه مشتري روي آن حركت ميكند وخود شامل يك چهار وجهي منتظم است كه كرة مريخ در آن قرار دارد.به همين ترتيب كرة مريخ شامل يك دوازده وجهي منتظم است،پس كرة زمين شامل يك بيست وجهي،كرة زهره شامل يك هشت وجهي و در نهايت كرة عطارد است. كپلركشف خود را اتحاد ميان عناصر زميني و آسمان ها ميدانست. او چنان از طرح خود به وجد آمده بودكه از دوستش دوك خواست كه مدلي طلايي از چند وجهي هاي تودرتووكره ها براي نشان دادن طرح او به دنيا و توضيح جهان مرموز ساخته شود.كپلر مي نويسد من ابعاد مدارهاي سياره اي را براساس اخترشناسي كوپرنيكي در نظر گرفتم كه بر طبق آن خورشيد در مركز عالم ثابت است. و زمين هم به دور محور خود و هم به دور محور خورشيد مي چرخد، و نشان دادم كه اختلاف هاي مدار هاي آنها با پنج شكل منظم فيثاغورثي تطبيق مي كند. ما امروزه مي دانيم كه اين آرايش كاملا تصادفي بوده است. براي كپلر اين الگو هم فاصلة سيارات و هم شش عدد بودنشان را توضيح مي داد و همچنين آن يگانگي را كه كپلر در ميان مشاهده هاي هندسي و علم جستجو مي كرد در برداشت. نتيجه هاي كار كپلر كه در سال1597 منتشر شد،تخيل و توانايي رياضي او را نشان مي دهد. یاضیدانان قرنها درباره خواص شکلهای فضایی (سه بعدی) تحقیق کرده اند. شکلهای فضایی که آسانتر از همه رده بندی می شوند، چندوجهی نام دارند. فقط پنج چند وجهی منتظم وجوددارد، که عبارتند: از چهار وجهی (دارای رویه های مثلث شکل )، مکعب(دارای شش رویه مربع شکل)، هشت وجهی (دارای رویه های مثلث شکل)، دوازده وجهی (دارای رویه های پنج ضلعی)، و بیست وجهی که (دارای رویه های مثلث شکل) می باشد.